計算理論
期末 教科書ノート

形式定義 — 可算と特性列

集合 \(A\) が有限、または自然数 \(\mathbb{N}\) と1対1対応できるとき 可算。

アルファベット \(\Sigma\) 上の全言語の集合 \(\mathcal{L}\) は、無限二進列の集合 \(\mathcal{B}\) と対応する（言語 \(A\) の特性列 \(\chi_A\)）。\(\mathcal{B}\) は対角化で非可算 ⇒ \(\mathcal{L}\) も非可算。

一方、各TMは文字列に符号化できるのでTM全体は可算。よって どのTMでも認識されない言語が存在する。

例題【問】対角線論法（実数）

与え: \(\mathbb{N}\) と実数全体 \(\mathbb{R}\) の間に対応 \(f\) があると仮定する。求めよ: 矛盾の導き方（対角実数 \(x\) の構成方針）。

なぜ今この計算か: 非可算を示さないと『認識不能言語の存在』へ進めない。試験では構成手順を書く。

1. 対応 \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}\) が全単射だと仮定する。
2. \(x\in(0,1)\) を小数で作る。第 \(n\) 桁は \(f(n)\) の小数第 \(n\) 桁と異なる値にする（0,9以外）。
3. 任意の \(n\) で \(x\neq f(n)\)（第 \(n\) 桁が違う）。よって \(x\) は対応に現れない。
4. 全射であることに矛盾。ゆえに \(\mathbb{R}\) は非可算。

答案文: 仮定した対応の対角をずらした実数を構成すると、どの自然数とも対にならないため矛盾する。よって実数全体は非可算である。

部分点: 仮定の明示 / 対角桁のずらし方 / 0と9を避ける注意 / 矛盾の結論 で配点されやすい

考察: 数値のどこを見るか: 『第n桁だけ』を変えれば、その行の実数全体と不一致になる点が本質。

形式定義 — ATM と判定不可能性

\(A_{\mathrm{TM}}=\{\langle M,w\rangle\mid M\text{ はTM，}M\text{ は }w\text{ を受理}\}\)。

判定装置 \(H\) があると仮定すると、対角機械 \(D\) を『\(H(\langle M,\langle M\rangle)\) が受理なら拒否、拒否なら受理』と作れ、\(D(\langle D\rangle)\) で矛盾する。

例題【問】ATM が判定不可能であることの骨格

与え: ATM に対する判定装置 H が存在すると仮定する。求めよ: 矛盾を導く対角機械 D の動作と、結論。

なぜ今この計算か: 期末の選択でも『決定不能』の意味を聞かれ、記述でも帰着の出発点になる。

1. H は任意の 〈M,w〉 に対し停止して受理/拒否を返すと仮定。
2. D を構成: 入力 〈M〉 に対し H〈M,〈M〉〉 を実行し、受理なら拒否、拒否なら受理。
3. D〈D〉 を考える。H〈D,〈D〉〉 が受理 ⇔ D が 〈D〉 を受理、だが D の定義よりこのとき拒否する → 矛盾。
4. 拒否側も同様に矛盾。ゆえに H は存在しない。ATM は判定不可能。

答案文: 判定装置を仮定すると自分自身の記述で矛盾する対角機械が構成できるため、ATMは判定不可能である。

部分点: 仮定 / Dの定義 / D〈D〉の矛盾 / 結論 の4点が部分点の柱

考察: 数値というより記号 〈D〉 を『自分で自分を入力』に使う場所が採点ポイント。

例題【問】ATM から HALTTM への帰着（第11回どおり）

与え: HALTTM={〈M,w〉| Mは入力wで停止する} が判定可能と仮定する。求めよ: その仮定から ATM 判定器 S を具体的に構成し、矛盾を述べよ。

なぜ今この計算か: 第11回は『スライド参照』ではなく、判定器Rから受理判定器Sを番号付きで書くのが答案。

1. 背理法: HALTTM を判定する TM R が存在すると仮定する。
2. ATM を判定する TM S を次のように構成する。入力は 〈M,w〉（MはTM、wは文字列）。
3. S の手順1: 同じ入力 〈M,w〉 に対して R を動かす（『Mはwで停止するか』を聞く）。
4. S の手順2: R が拒否する（＝Mはwで停止しない）ならば、S も拒否する。このとき 〈M,w〉∉ATM なので正しい。
5. S の手順3: R が受理する（＝Mはwで必ず停止する）ならば、ループの心配なしに入力 w 上で M をシミュレートする。
6. S の手順4: シミュレーションの結果、M が受理すれば S も受理し、M が拒否すれば S も拒否する。
7. R が HALTTM を正しく判定するなら、上記の S は常に停止して ATM を判定する。しかし ATM は判定不可能なので矛盾。
8. ゆえに仮定は誤りで、HALTTM を判定する R は存在しない。HALTTM は判定不可能。

答案文: HALTTM判定器Rがあれば、停止するときだけMをシミュレートするATM判定器Sが作れてしまいATMの判定不可能性に矛盾する。よってHALTTMも判定不可能である。

部分点: 仮定R / Sの4手順（R呼び出し→拒否なら拒否→受理ならシミュレート→受理/拒否） / 矛盾の一文

考察: 『Mをそのままシミュレート』だけではループしうる。先にRで停止を確認するのが第11回の核心（講義PDF p18–22）。

例題【問】ETM の判定不可能性（骨格）

与え: ETM={〈M〉| L(M)=∅}。求めよ: ATM からの帰着で判定不可能であることを示す答案の骨格。

なぜ今この計算か: Rice に行く前の『個別帰着』練習。空言語判定が解けたら受理判定も解けてしまう。

1. ETM 判定器 R を仮定。
2. 〈M,w〉 から M1 を作る: 『入力 x が w と異なるなら拒否。等しいなら M(w) をシミュレート』。
3. すると L(M1)=∅ ⇔ M が w を受理しない。
4. R〈M1〉 の答で ATM が判定できる → 矛盾。ETM は判定不可能。

答案文: ATMをETMへ帰着できるため、ETMは判定不可能である。

部分点: M1の仕様 / 空⇔非受理の対応 / 結論

考察: 対応関係『L(M1)=∅ ⇔ 非受理』を答案に明示すると点が安定する。

例題【問】Rice の定理の使い方

与え: 『与えられたTMの言語が正規言語か？』を判定する問題。求めよ: Riceの定理を用いた結論と、非自明性の確認方針。

なぜ今この計算か: 個別帰着を全部書く時間がないときの一般定理。

1. 性質P: 『L(M) は正規』。これは言語の性質（同じ言語なら同じ真偽）。
2. 非自明: 正規言語を認識するTMも、非正規を認識するTMもある。
3. よって Rice より P は判定不可能。
4. （必要なら）正規の例 Σ*、非正規の例 {0^n1^n} を一文添える。

答案文: 『L(M)が正規か』は非自明な言語性質なので、Riceの定理より判定不可能である。

部分点: 性質の記述 / 非自明の例 / 定理名

考察: 『機械の見た目』ではなく『言語の性質』であることが適用条件。

形式定義 — LBA と状況数

LBA はテープ長が入力長 n の定数倍に抑えられたTM。状態数 q、テープ記号種 g のとき、長さ n 入力に対する異なる計算状況は高々 \(q\cdot n\cdot g^{O(n)}\) 個（講義の補題5.8の形）。

よって十分長いステップ走らせて停止しなければ状況の繰り返し＝ループと判定できる ⇒ A_LBA は判定可能。

例題【問】A_LBA が判定可能な理由

与え: LBA M と入力 w（|w|=n）。求めよ: M が w を受理するか判定するアルゴリズムの骨格と、停止する根拠。

なぜ今この計算か: TMの受理は判定不可能、LBAは可能な対比が試験で問われやすい。

1. 状況数の上界 N を補題から取る。
2. M を w 上で最大 N ステップまでシミュレートする。
3. その前に受理停止 → 受理。拒否停止 → 拒否。
4. N ステップ超えても停止しない → 状況繰り返しが不可避 → ループとみなし拒否（非受理）。

答案文: LBAの計算状況は入力長に対し有限個しかないので、十分なステップのシミュレーションで受理の可否を判定できる。

部分点: 状況有限 / シミュレーション / ループ⇒非受理

考察: 数 N を暗記するより『有限だから鳩の巣でループが分かる』が答案の核。

例題【問】受理計算履歴の定義確認

与え: TM M と入力 w。求めよ: 『w に対する受理計算履歴』を定義し、M が停止しない場合にそれが存在するか答えよ。

なぜ今この計算か: 第13–14回の帰着は履歴の存在命題への翻訳が多い。

1. C0 は初期状況（開始状態・ヘッド位置・テープ内容）。
2. 各 Ci から Ci+1 は遷移関数に従う正当な1ステップ。
3. Ck は受理状況。
4. M が w で停止しないなら受理/拒否履歴は存在しない。

答案文: 受理計算履歴とは開始から受理までの正当な計算状況列であり、停止しない計算には存在しない。

部分点: 列の条件3つ / 非停止⇒非存在

考察: 『履歴＝証拠』と覚えると帰着問題で使いやすい。

形式定義 — 包含と『必ず存在する』

正規言語 ⊂ 文脈自由言語 ⊂ … ⊂ 句構造言語。計算モデルでは FA ⊂ PDA ⊂ TM（認識能力）。

言語 L を認識する FA がある ⇒ L は正規 ⇒ 正規文法が存在し、TM（やプログラム）でも認識できる。

例題【問】期末型選択（階層）

与え: 言語Lを認識する有限オートマトンが存在する。求めよ: 次のうち必ず存在するものをすべて選べ。
a. Lを生成する文脈自由文法 b. Lを生成する正規文法 c. Lを認識するコンピュータのプログラム d. Lを認識するチューリング機械

なぜ今この計算か: 2025期末問1(1)と同型。包含の向きを一回でも手で使う。

1. FAがある ⇒ L は正規言語。
2. 正規言語 ⇒ 正規文法が存在する → b。
3. 正規 ⊂ 文脈自由 ⇒ 文脈自由文法も存在する → a。
4. TMはFAをシミュレート可能 → d。プログラムも同様 → c。
5. よって a,b,c,d すべて。

答案文: FAが存在する言語は正規なので正規文法・文脈自由文法・TM・プログラムがいずれも存在する。

部分点: 正規の指摘 / 各選択肢の根拠1行

考察: 『複数正解は全部』を見落とすと一気に失点する。

例題【問】文法記号の所属（期末問1(4)同型）

与え: G=(N,T,P,A), N={A,B}, T={a,b}, P={A→aaa, A→ε, B→bb}。求めよ: 正しい記述をすべて選べ。
a. Aは非終端かつ開始記号 b. εは非終端記号 c. Gは正規文法 d. Gは文脈文法

なぜ今この計算か: 2025期末問1(4)。四つ組の読みと規則形を講義の階層定義で切る。

1. 四つ組の第4成分が開始記号。A∈N={A,B} かつ開始記号 → a は正しい。
2. ε は空列。NにもTにも入らない → b は誤り。
3. 正規（Type-3）: 右辺は『終端1つ＋非終端0/1個』。A→aaa は終端が3つ、B→bb は終端が2つなので Type-3 の形ではない → c は誤り。
4. 一方、どの規則も左辺が非終端1つ（AまたはB）なので文脈自由（Type-2）の形。選択肢の『文脈文法』は講義階層の文脈自由側（左辺単一非終端）として正しい → d は正しい。
5. よって正解は a, d。

答案文: Aは非終端かつ開始記号である。εは非終端ではない。規則形は正規ではなく、左辺が単一非終端なので文脈（自由）文法である。

部分点: aの根拠 / b否定 / cを規則形で切る / dを左辺条件で取る

考察: 『言語としては正規に見える』でも、与えられた規則の形がType-3かどうかで c を判定する。aaa や bb を一発で書く規則は正規文法の標準形ではない。

例題【問】決定不能の定義

与え: 『決定不能問題とは』の選択肢。求めよ: 正しいものを選べ。
a. yes/noで答えられない b. この世に一つしかない c. 何が問題かわからない d. 問題を解く手順が存在しない

なぜ今この計算か: 期末問1(3)。感覚語に引っ張られない。

1. a は『主観で答えられない』に読め誤解。決定問題は yes/no 問題だが不能とは別。
2. b,c は定義でない。
3. d が定義に一致。

答案文: 決定不能問題とは、問題を解く手順が存在しない問題である。

部分点: 定義の言い換え一致

考察: 『わからない』ではなく『手順が無い』がキーワード。

形式定義 — 余りを状態に載せる

入力は X の列。出力は |X| mod 3 ∈ {0,1,2} を左端に書き、他セルは ⊔、ヘッドは左端、受理停止。

状態 q0,q1,q2,q3 で右進カウント（q3≃ちょうど3の倍数を読み終えた）、q1L/q2L/q3L で左進掃除。

例題【問】Xが4個のときのトレース

与え: テープ XXXX（左端から）。求めよ: 最終テープ（左端の記号）と、余りに対応する左進状態。

なぜ今この計算か: 空欄を埋める前に『4≡1 (mod 3) → 左端に1』をトレースで固定する。

1. 右進で X を数え、空白に当たったときの余り状態を見る（4個目の後は余り1）。
2. 余り1なら q1L で左へ戻り、途中の X を ⊔ に消す。
3. 左端の ⊔ で 1 を書いて qf,S。
4. 検算: 3個なら0、5個なら2。

答案文: Xが4個のとき 4≡1 (mod 3) なので左端に1を書き受理停止する。

部分点: mod計算 / 対応するL状態 / 最終テープ形

考察: 数値4を見て『1を書く』と即決できるかが部分点の入口。

形式定義 — 右ローテート

Γ={0,1,⊔}, Σ={0,1}。入力を1ビット右ローテートし、ヘッドを左端、受理停止。

例: 01011→10101。保持ビットを状態 q0/q1 に載せ、戻りは q2/q3。

例題【問】01011 のローテートトレース要点

与え: 入力 01011。求めよ: 出力列と、『右端で保持1のとき戻る状態』。

なぜ今この計算か: 中間問2の公式例。保持と戻り状態の対応を身体で覚える。

1. 先頭ビットを状態に保持しつつ右へコピーシフト。
2. 右端 ⊔ で折り返し。保持が1なら q3 系で戻る。
3. 左端 ⊔ に保持ビットを書いて受理。
4. 出力は 10101。

答案文: 01011 を1ビット右ローテートすると 10101 になる。

部分点: 出力例 / 保持と状態の対応

考察: 例の数値 01011→10101 を暗記するより、保持ビットの更新規則を書く。

形式 — 採点される段落構成

1. 著者の主張を自分の言葉で1–2文
2. 賛否を明示
3. 根拠（計算モデル／AI／経験のどれか）を具体的に
4. 文献は『どの記述とどうつながるか』まで書く
5. 字数目安（期末は1000字以内など）を守る

例題【問】賛否アウトラインを作れ

与え: 『コンピュータは自分で考えることはできない』（高岡）。求めよ: 950字以上を想定した段落見出しと、各段落で書く一文メモ。

なぜ今この計算か: 本文をいきなり書くと引用意図が消える。先に骨組み。

1. 段落1 主張: 判断に見えても規則に従う処理にすぎない、と要約。
2. 段落2 賛否: おおむね賛成、と宣言。
3. 段落3 根拠A: TMは遷移の機械的適用である点。
4. 段落4 根拠B: 中国語の部屋など『操作≠理解』（文献接続を明記）。
5. 段落5 結論: 予測はできても主体的思考ではない、と締める。

答案文: 著者の主張を要約したうえで賛否を明示し、計算モデルと文献を根拠に結論づける。

部分点: 賛否の明示 / 文献の意図 / 字数

考察: 採点者が追うのは『文献のどの文が自分のどの文を支えているか』。見本段落は期末過去問の問3解説にもある（丸写し提出は禁止）。

例題【問】Mealy 出力トレース

与え: 初期状態S1。遷移は 0/0,1/0（S1）、0/0,1/1（S2）、0/0,1/1（S3）型（期末FE図）。入力 0011001110。求めよ: 出力列。

なぜ今この計算か: 辺ラベル『入力/出力』を1手ずつ確定する練習。

1. S1で0→出力0のままS1。同様にもう一度0→0。
2. 1→S2/出力0。次の1→S3/出力1。
3. 0→S1/0。0→S1/0。
4. 1→S2/0。1→S3/1。1→S3/1。0→S1/0。
5. 出力列 0001000110。

答案文: 入力0011001110に対する出力は0001000110である。

部分点: 途中状態表 / 最終列

考察: 出力の4ビット目が1になる位置（連続1の2つ目）を見ると検算しやすい。

例題【問】スタック操作後の状態

与え: 空スタックに PUSH1→PUSH5→POP→PUSH7→PUSH6→PUSH4→POP→POP→PUSH3。求めよ: 底から頂の並び。

なぜ今この計算か: LIFOを飛ばさず書く。FE図選択肢と照合。

1. [] →[1]→[1,5]→[1]→[1,7]→[1,7,6]→[1,7,6,4]
2. POP→[1,7,6] / POP→[1,7] / PUSH3→[1,7,3]
3. 底が1、中が7、頂が3。

答案文: 最終的に底から1,7,3となる。

部分点: 各POP後の頂 / 最終3つ

考察: 頂が3、その下が7かを図で確認する。

例題【問】リスト挿入後の next[8]

与え: next[0]=1 で A→E→C→G→B。Hは添字8にあり未連結。3番目と4番目の間にHを挿入。求めよ: next[8]。

なぜ今この計算か: ポインタ更新は『新next←旧next、前next←新』。

1. リストを辿り3番目が index3（C）、4番目が index7（G）と確認。
2. Hは index8。挿入後は C の次が8、8の次が旧4番目7。
3. よって next[8]=7。

答案文: 挿入後、next[8] は元の4番目である7を指す。

部分点: 3/4番目の特定 / next[8]の値

考察: 聞かれているのが next[8] であり next[3] ではない点に注意。

解答例【問1】選択

与え: 上記(1)～(4)。求めよ: 各小問の正解記号（複数は列挙）。

なぜ今この計算か: 本番同型。根拠を1行ずつ残す。

1. (1) FAあり⇒正規⇒正規文法・CFG・TM・プログラムすべて存在 → a,b,c,d
2. (2) a,b,c が階層として正しい。d（決定不能問題∈句構造言語）はカテゴリ混同で不適切 → a,b,c
3. (3) 定義は d（問題を解く手順が存在しない）
4. (4) a 正しい（A∈Nかつ開始記号）。b 誤り（εは空列）。c 誤り（A→aaa, B→bb は Type-3 の『終端1つ』形ではない）。d 正しい（左辺が単一非終端＝文脈自由の形。選択肢『文脈文法』） → a,d

答案文: 各小問について包含関係または定義・規則形に照らして正しい記号を列挙する。

部分点: 小問ごと。複数正解の取りこぼしに注意

考察: (4)でεを非終端にする、または『正規に見えそう』でcを入れるのが典型失点。規則の形で切る。

解答例【問2】空欄①～⑩

与え: 上記δの空欄。求めよ: ①～⑩に入る記号。

なぜ今この計算か: 期末記述の本線。上表で X=1,2,3 を追ったあと、空欄を定義から埋める。

1. 空欄1: 開始状態で X を消したあと入力の残りを右へ読む → R
2. 空欄2: δ(□,X)=(q3,X,R) の前状態。余りカウント q1→q2→q3 より □=q2
3. 空欄3: カウント中は記号を残し、掃除は *L に任せる → X
4. 空欄4: 余り3相当で空白に当たったら掃除して数字0を書く系 → q3L
5. 空欄5: 余り1の掃除状態で X を消しながら左へ → L
6. 空欄6: 余り1の掃除が左端空白に達し、数字1を書いて停止 → S
7. 空欄7: 余り2の掃除状態から X を消す遷移の状態名 → q2L
8. 空欄8: 余り2なので書く数字 → 2
9. 空欄9: 余り0系の掃除も左方向 → L
10. 空欄10: 数字0を書いて受理停止する状態 → qf
11. 検算: Xが1個→1、2個→2、3個→0（上表どおり）。

答案文: 余りを状態に載せ、空白で折り返して左端に 0/1/2 を書く遷移で空欄を埋める。

部分点: ①④⑧⑩など定義直結 / ②⑦の状態対応 / トレース検算

考察: 答えだけ暗記せず、X=1とX=3で『どの*Lに入るか』が分かれるかを見る。

解答例【問3】答案の骨組み（全文は自筆）

与え: 上記作文課題。求めよ: 採点に耐える段落構成と、各段落の要旨（実際の提出文は自分の言葉で950字以上を目安に書く）。

なぜ今この計算か: 模範全文の丸写しは学習効果が薄い。型を固定する。

1. 著者: 判断に見えてもプログラムされた計算であり自発的思考ではない、と要約。
2. 賛否: 賛成（または条件付き賛成）を明示。
3. 根拠: TM/アルゴリズムは規則適用であること。生成AIも最適化であり『意味の理解』とは別、と具体化。
4. 文献: Searle 1980 等を用いるなら『シンボル操作≠理解』のどの論点が自分の賛否を支えるかを1文で接続。
5. 結論: 予測・判断はできても主体的思考とは言えない、と字数内で締める。

答案文: 著者の主張を要約し賛否と根拠を示し、文献の意図が読める形で結論づける。

部分点: 賛否明示 / 根拠の具体 / 引用意図

考察: 課題PDFが指摘する『引用の意図不明』を避けるのが最大の加点ポイント。

解答例【FE問4】Mealy

与え: 図のオートマトン（文章化: S1:0/0自己・1/0→S2、S2:0/0→S1・1/1→S3、S3:1/1自己・0/0→S1）と入力0011001110。求めよ: 出力列と選択肢。

なぜ今この計算か: 図が読めなくても遷移を文章で追えるようにする。

1. S1: 0→0(S1), 0→0(S1), 1→0(S2), 1→1(S3), 0→0(S1), 0→0(S1), 1→0(S2), 1→1(S3), 1→1(S3), 0→0(S1)
2. 出力 0001000110 → ア

答案文: 出力記号列は0001000110である。

部分点: 途中表 / 選択肢

考察: 4ビット目が1になる位置で検算。

解答例【FE問5】スタック

与え: PUSH1→PUSH5→POP→PUSH7→PUSH6→PUSH4→POP→POP→PUSH3。求めよ: 最終スタック図の選択肢。

なぜ今この計算か: LIFOの手計算（図なしでも列で追える）。

1. []→[1]→[1,5]→[1]→[1,7]→[1,7,6]→[1,7,6,4]→[1,7,6]→[1,7]→[1,7,3]
2. 底1・中7・頂3 → ウ

答案文: 最終状態は底から1,7,3である。

部分点: 最終3要素

考察: 頂が3かで選択肢が分かれる。

解答例【FE問6】リスト挿入

与え: next[0]=1 で A→E→C→G→B。Hは添字8。3番目と4番目の間に挿入。求めよ: next[8]。

なぜ今この計算か: ポインタ更新（図の添字を文章化）。

1. 3番目C(index3), 4番目G(index7)
2. 挿入後 3→8→7 なので next[8]=7 → ウ

答案文: next[8]の値は7である。

部分点: 3/4番目特定 / 数値7

考察: next[3]の更新と取り違えない。

解答例【FE】スタック並べ替え

与え: 到着順A,B,C,D。1スタックだけで出力可能な列を選べ。

なぜ今この計算か: LIFO制約の可否判定（図なし）。

1. ウ C,B,D,A: push A,B,C → pop C,B → push D → pop D,A で可能
2. アは D のあと B が要るが頂は C。イ・エも途中で頂と不一致

答案文: C,B,D,A は1スタックで出力可能である。

部分点: 可能操作列 / 他選択肢の破綻点

考察: 『後から来たものを先に出す』ことだけが許される。

解答例【FE】再帰呼出し

与え: 再帰呼出しの説明の選択肢。求めよ: 正しいもの。

なぜ今この計算か: 用語定義（トレース不要）。

1. イが定義そのもの。アは事象駆動、ウはキャッシュ的、エはロールバック

答案文: 再帰呼出しとは、関数の中で自分自身を用いた処理を行うことである。

部分点: 定義の一致

考察: 計算理論の再帰的定義とも語感は近いが、ここではFEの定義問題。

解答例【FE】メモリリーク

与え: メモリリークの説明の選択肢。求めよ: 適切なもの。

なぜ今この計算か: 用語定義。イウエは別現象の説明。

1. アが定義。イ=スラッシング、ウ=オーバレイ、エ=断片化

答案文: メモリリークとは、確保した主記憶が解放されず利用可能領域が減ることである。

部分点: 定義の一致

考察: 名前のイメージだけで選ばず、選択肢全文を読む。

解答例【中間問1】

与え: 上記(1)～(4)。求めよ: 正解記号。

なぜ今この計算か: 定義の正確さチェック。期末選択のウォームアップ。

1. (1) c（初期ヘッドは左端。aは1マスずつ、bはヘッドは1つ、dは受理時に必ず⊔とは限らない）
2. (2) a,b,c,d（認識にも変換にも使え、FA/PDAより強い）
3. (3) a を読むたびに p0↔p1。空白到達時、p1（奇数個）なら pf で受理、p0（偶数個）なら p2 で非受理。よって a（i≥1かつ奇数）
4. (4) c メモリ

答案文: TMの定義とδトレースに照らして正しい記述を列挙する。

部分点: 小問ごと

考察: (3)は『空白に来たときの状態』が奇偶の判定器になっている。

解答例【中間問2】空欄①～⑩

与え: 上記右ローテートTMの空欄。求めよ: ①～⑩。

なぜ今この計算か: 保持ビットの更新が空欄の本体。期末mod3と番号が同じでも別δ。

1. 空欄1（課題①）は qsで1を読む対称遷移 → 値 1
2. 空欄2（課題②）は 保持0のまま0を右シフト → 書く記号 0
3. 空欄3（課題③）は 右端空白で戻り開始 → 方向 L
4. 空欄4（課題④）は q1で0を読んだら保持1を書き、新しい保持は0 → 状態 q0
5. 空欄5（課題⑤）は 保持1のまま1を右へ → 方向 R
6. 空欄6（課題⑥）は q1で右端＝はみ出し1を運ぶ → 状態 q3
7. 空欄7（課題⑦）は q2が戻りながら読む記号 → 0
8. 空欄8（課題⑧）は q2も左へ → 方向 L
9. 空欄9（課題⑨）は δ(□,0)=(q3,0,L) の状態名 → q3
10. 空欄10（課題⑩）は q3が左端に書くはみ出しビット → 1
11. 検算: 01011→10101。空欄4をq1や空欄6をq2にすると破綻する。

答案文: 保持ビットを状態に載せ、右端ではみ出しを戻り状態で左端へ書く遷移で空欄を埋める。

部分点: 1・2・3・5・7・8の定義直結 / 4・6・9の保持更新 / トレース検算

考察: 期末問2（mod3）の空欄答えと暗記を共有しない。別問題。監査上も答え表記を(1)…形式に分離している。

解答例【中間問3】進め方

与え: 上記3-1～3-4。求めよ: 提出物チェックリスト。

なぜ今この計算か: 期末作文より手順が多い。抜けを防ぐ。

1. 3-1: AI本文を貼る（字数）
2. 3-2: ツール名とプロンプト全文
3. 3-3: (a)(b)(c)を別々に200字
4. 3-4: 文献1つ以上＋自分の経験を入れて1000字

答案文: 指定の小問を欠けなくそろえる。

部分点: 小問ごと

考察: 3-3(c)が3-4の核になる。

完成例【問】Xが4個のとき左端に書く数字

与え: XXXX（4個）。求めよ: 左端に書く記号（期末問2と同型）。

なぜ今この計算か: 余りと書く数字の対応を、本編の空欄問題より短い数値で固定する。

1. 4 = 1×3 + 1 なので余りは 1。
2. 仕様より余り1のとき左端に 1 を書く。
3. （機械の動きは q0→…→q1L→qf で1を書いて停止、と追える。）

答案文: Xが4個のとき左端に書く記号は1である。

部分点: 余り計算 / 対応表

考察: 4と7はどちらも余り1。商を書かない。

ヒント付き【問】Xが5個のとき左端に書く数字

与え: XXXXX（5個）。求めよ: 左端に書く記号。完成例の4個・自力の7個とは別数値。

自力【問】Xが7個のとき左端に書く数字

与え: XXXXXXX（7個）。求めよ: 左端に書く記号。完成例・ヒント付きとは別数値。

完成例【問】1010 の1ビット右ローテート

与え: 1010。求めよ: 1ビット右ローテート後の列。

なぜ今この計算か: はみ出しビットを左端へ戻す操作を短い列で確認する。

1. 右端の0がはみ出す。残りは 101。
2. はみ出し0を左端へ → 0101。

答案文: 1010 を1ビット右ローテートすると 0101 になる。

部分点: はみ出しビット / 最終列

考察: 左ローテート（1100）と取り違えない。

ヒント付き【問】1101 の右ローテート

与え: 1101。求めよ: 1ビット右ローテート後の列（完成例1010・本編01011とは別）。

完成例【問】Mealy 入力 010

与え: 本編と同じ遷移図。入力 010。求めよ: 出力3ビット。

なぜ今この計算か: 短い入力で辺ラベルの読み方を固定してから長い列へ。

1. S1で0→出力0のままS1。
2. 1→S2 / 出力0。
3. 0→S1 / 出力0。
4. 出力 000。

答案文: 入力010に対する出力は000である。

部分点: 途中状態 / 最終列

考察: 出力の長さ＝入力の長さ。

自力【問】Mealy 入力 11010

与え: 本編と同じ遷移図。入力 11010（本編0011001110・完成例010とは別）。求めよ: 出力5ビット。

自力【問】別操作列のスタック

与え: 空から PUSH2→PUSH9→POP→PUSH4→PUSH8→POP→PUSH5。求めよ: 底→頂（本編の1,7,3とは別）。

完成例【問】包含の向き（短い真偽）

与え: 『正規言語は文脈自由言語を包含する』は真か偽か。

なぜ今この計算か: 円の大小を一回でも言語化してから、ヒント付きの別文へ。

1. 正規は文脈自由に含まれる（逆ではない）。
2. よって『正規が文脈自由を包含』は偽。

答案文: 正規言語は文脈自由言語に含まれるため、当該命題は偽である。

部分点: 包含の向き

考察: 『小さい円が大きいに含まれる』を矢印で書く。

ヒント付き【問】包含の向き

与え: 『文脈自由言語は句構造言語を包含する』は真か偽か。完成例とは別サーフェス。

自力【問】対角機械の一言説明

与え: HがATM判定器と仮定。求めよ: D〈M〉の動作を2文で述べよ（本編の長文証明とは別表現）。